Tematické okruhy učiva matematiky na gymnáziu
- Výrok, pravdivostní hodnota výroku
- Výrokové operace a relace (negace, konjunkce, disjunkce, imlikace, ekvivalence)
- Kvantifikátory, matematické věty a jejich důkazy
- Pojem množiny, vztahy mezi množinami, operace s množinami, intervaly
- Vennovy diagramy, slovní úlohy řešené pomocí Vennových diagramů
- Cifra, ciferný součet, poziční a adiční systém, zápis přirozeného čísla
- Dělitelnost přirozených čísel - kritéria dělitelnosti, prvočísla, čísla složená
- Nejmenší společný násobek a největší společný dělitel
- Čísla soudělná a nesoudělná
- Důkazové úlohy o dělitelnosti
- Matematická indukce.
- Číselné obory N, Z, Q, R
- Čísla iracionální
- Základní aritmetické operace a jejich vlastnosti (uzavřenost, komutativnost, asociativnost, distributivnost, neutrální prvek)
- Mocniny a odmocniny, vztahy mezi reálnými čísly, absolutní hodnota reálného čísla.
- Zavedení komplexních čísel, rovnost komplexních čísel
- Algebraický a goniometrický tvar komplexního čísla, absolutní hodnota komplexního čísla
- Gaussova rovina - zobrazení komplexních čísel
- Operace s komplexními čísly
- Moivreova věta
- Binomické rovnice.
- Pojmy - výraz, konstanta, proměnná, definiční obor výrazu, hodnota výrazu
- Mnohočlen, operace s mnohočleny, rozklad mnohočlenu,
- Lomené výrazy, krácení a rozšiřování lomených výrazů
- Výrazy s absolutní hodnotou a odmocninami.
- Pojem algebraické rovnice, obor řešení rovnice, kořen rovnice, úpravy rovnic, zkouška
- Lineární a kvadratické rovnice
- Soustavy rovnic
- Rovnice s absolutními hodnotami
- Rovnice s neznámou pod odmocninou
- Rovnice s parametry
- Grafické řešení lineárních a kvadratických rovnic
- Reciproké rovnice.
- Lineární nerovnice, kvadratické nerovnice
- Nerovnice s neznámou v absolutní hodnotě
- Lineární nerovnice se dvěma neznámými
- Úpravy nerovnic, grafické řešení
- Nerovnice s neznámou pod odmocninou
- Nerovnice v součinovém a podílovém tvaru
- Využití vlastností spojitých funkcí při řešení nerovnic.
- Základní kombinatorická pravidla
- Faktoriály a kombinační čísla
- Binomická věta
- Variace, permutace, kombinace, bez opakování a s opakováním
- Slovní úlohy z kombinatoriky
- Statistický soubor, rozsah souboru, kvantitavní znak, absolutní četnost, relativní četnost
- Charakteristiky statistického souboru - aritmetický průměr, modus, medián, rozptyl, směrodatná odchylka
- Polygon četnosti, histogram
- Koeficient korelace
- Náhodné jevy a množiny, pravděpodobnost jevu, vlastnosti pravděpodobnosti, nezávislé jevy.
- Pojem vektoru
- Soustava souřadnic na přímce, v rovině a v prostoru
- Souřadnice vektoru, velikost vektoru, sčítání vektorů, násobení vektoru reálným číslem, lineární kombinace, lineární závislost a lineární nezávislost
- Skalární součin a jeho vlastnosti, úhel dvou vektorů
- Vektorový součin – vlastnosti, aplikace
- Smíšený součin vektorů a jeho aplikace
- Parametrické vyjádření přímky a jejich částí
- Analytická vyjádření přímky v rovině - obecná rovnice přímky, směrnicový a úsekový tvar rovnice přímky
- Vzájemná poloha bodů a přímek v rovině
- Odchylka dvou přímek
- Vzdálenost bodu a přímky
- Vzdálenost dvou rovnoběžných přímek.
- Definice kružnice a koule a jejich analytická vyjádření
- Vnější a vnitřní body kružnice, kruhu a koule
- Tečna kružnice, tečná rovina koule.
- Pojem kuželosečky
- Definice kružnice, elipsy, paraboly, hyperboly a jejich analytická vyjádření
- Vzájemná poloha přímky a kuželosečky
- Rovnice tečny kuželosečky
- Parametrické vyjádření přímky v prostoru
- Parametrické vyjádření roviny, obecná rovnice roviny
- Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin v prostoru
- Vzdálenosti útvarů v prostoru
- Odchylky útvarů v prostoru
- Kolmost v rovině a v prostoru
- Základní planimetrické pojmy a vztahy mezi nimi
- Polopřímka, polorovina, úsečka, úhel, dvojice úhlů, vzájemná poloha bodů a přímek v rovině, kolmost přímek
- Trojúhelník, čtyřúhelník, mnohoúhelník, kružnice, kruh, úhly v kružnici
- Množiny bodů dané vlastnosti
- Věta Pythagorova a věty Euklidovy a jejich aplikace
- Mocnost bodu ke kružnici.
- Pojem shodného zobrazení, samodružný bod, samodružný útvar
- Identita, osová souměrnost, středová souměrnost, posunutí, otočení
- Užití shodných zobrazení ke konstrukčním úlohám.
- Podobnost trojúhelníků - věty o podobnosti, užití
- Podobné zobrazení
- Stejnolehlost - užití stejnolehlosti.
- Stejnolehlost kružnic
- Pojem konstrukční úlohy
- Metody řešení konstrukčních úloh
- Základní geometrické konstrukce
- Konstrukce trojúhelníků a čtyřúhelníků
- Konstrukce kružnic
- Goniometrické funkce ostrého úhlu
- Řešení pravoúhlého trojúhelníka
- Sinová a kosinová věta, řešení obecného trojúhelníka
- Užití trigonometrie v praktických úlohách.
- Základní stereometrické pojmy
- Volné rovnoběžné promítání
- Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin v prostoru
- Průsečík přímky a roviny
- Průsečnice dvou rovin, řez tělesa rovinou
- Odchylka přímek
- Metrické vlastnosti útvaru v prostoru.
- Kolmost přímek a rovin
- Odchylka přímek a rovin
- Vzdálenost bodu od přímky a od roviny, vzdálenosti přímek a rovin
- Mnohostěn a rotační těleso
- Hranol, kvádr, jehlan, komolý jehlan
- Válec, kužel, komolý kužel
- Koule a její části
- Objem a povrch tělesa.
- Pojem funkce
- Definiční obor, obor hodnot, graf funkce
- Rovnost funkcí
- Vlastnosti funkce – sudá, lichá periodická funkce, monotónnost a omezenost funkce, extrémy funkce.
- Funkce inverzní a složená
- Polynomická funkce n-tého stupně
- Funkce konstatní, lineární funkce, funkce s absolutní hodnotou
- Kvadratická funkce
- Mocninné funkce s přirozeným exponentem
- Definiční obor, obor hodnot, grafy, základní vlastnosti lineárnmích a kvadratických funkcí.
- Racionální funkce, nepřímá úměrnost, lineární lomená funkce
- Mocninné funkce s celým záporným exponentem
- Definiční obor, obor hodnot, grafy, základní vlastnosti racionální funkce.
- Definice exponenciální funkce, definiční obor, obor hodnot, graf a základní vlastnosti exponenciální funkce
- Eulerovo číslo
- Exponenciální rovnice a jejich řešení.
- Definice logaritmické funkce, definiční obor, obor hodnot, graf a základní vlastnosti logaritmické funkce
- Logaritmus, věty o logaritmech
- Logaritmické rovnice a jejich řešení.
- Zavedení goniometrických funkcí, definiční obor, obor hodnot, graf a základní vlastnosti goniometrických funkcí
- Vztahy mezi goniometrickými funkcemi
- Goniometrické rovnice a nerovnice.
- Pojem posloupnosti, n-tý člen posloupnosti, rekurentní posloupnost, graf posloupnosti, vlastnosti posloupnosti
- Aritmetická a geometrická posloupnost - jejich vlastnosti
- Limita posloupnosti
- Nekonečná geometrická řada.
- Okolí bodu
- Funkce spojitá v bodě, funkce spojitá v uzavřeném intervalu
- Využití vlastností spojitých funkcí při řešení rovnic a nerovnic
- Limita funkce, limita funkce v nevlastním bodě, výpočet limit
- Asymptoty a tečny grafu funkce - řešení užitím limit
- Definice derivace funkce
- Fyzikální a geometrická interpretace první a druhé derivace funkce
- Derivace elementárních funkcí
- Derivace součinu, podílu, složené funkce, implicitní funkce
- Využití derivací při vyšetřování průběhu funkce - monotónnost, extrémy, konvexnost, konkávnost, inflexní body
- Slovní úlohy na extrémy funkce.
- Primitivní funkce a její vlastnosti
- Primitivní funkce k elementárním funkcím
- Základní integrační metody - per partes, substituce, rozklad na parciální zlomky
- Určitý integrál
- Užití integračních metod v určitém integrálu
- Výpočet obsahu rovinného útvaru, objemu rotačního tělesa, délka křivky pomocí určitého integrálu